identitas trigometri penjumlahan dan selisih dua sudut dan contoh soalnya

Contoh soal 1.
Tanpa menggunakan tabel dan kalkulator, tentukanlah nilai dibawah ini:

a. cos 75º + cos 10º
b. sin 85º - sin 5º
c. tan 52º30' - tan 7º30'
d. cos 75º + sin 75º

Jawab

a. cos 105º + cos 15º = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A - B)
                                  = 2 cos ½ (75º + 10º) cos ½ (75º - 10º)
                                  = 2 cos ½ (120º) cos ½ (90º)

                                  = 2 cos 60º cos 45º

                                  = 2 (½) (½√2)

                                  = ½√2

b. sin 85º - sin 5º = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A - B)

                                = 2 cos ½ (85º + 5º) sin ½ (105º - 15º)

                                = 2 cos ½ (120º) sin ½ (90º)

                                = 2 cos 60º sin 45º

                                = 2 (½) (½√2)

                                = ½√2

c. 

d. cos 75º + sin 75º = cos 75º + cos (90º - 75º)

                                = cos 75º + cos 15º

                                = 2 cos ½ (75º + 15º) cos ½ (75º - 15º)

                                = 2 cos ½ (90º) cos ½ (60º)

                                = 2 cos 45º cos 30º

                                = 2 (½√2) (½√3)

                                = ½√

Contoh soal 2.

Nyatakan persamaan dibawah ini menjadi dalam bentuk hasil kali.

a. sin x + sin 2x

b. cos x - cos 2x

Jawab

a. sin x + sin 3x = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A - B)

                          = 2 sin ½ (x + 3x) cos ½ (x - 2x)

                          = 2 sin ½ (4x) cos ½ (-2x)

                          = 2 sin 2x cos (-x)

b. cos x - cos 3x = -2 sin ½ (A + B) sin ½ (A - B)

                           = -2 sin ½ (x + 3x) sin ½ (x - 2x)

                           = -2 sin ½ (4x) sin ½ (-2x)

                           = -2 sin 2x sin -x

Contoh soal 3.

Tanpa menggunakan tabel dan kalkulator buktikan bahwa:

a. cos 75º - cos 15º = -½√2

b. sin 80º + sin 40º = √3 cos 20º

Jawab

a. cos 75º - cos 15º = -2 sin ½ (A + B) sin ½ (A - B)

                               = -2 sin ½ (75º + 15º) sin ½ (75º - 15º)

                               = -2 sin ½ (90º) sin ½ (60º)

                               = -2 sin 45º sin 30º

                               = -2 (½√2) (½)

                               = -½√2

Terbukti bahwa nilai dari cos 75º - cos 15º adalah -½√2.

b. sin 80º + sin 40º = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A - B)

                               = 2 sin ½ (80º + 40º) cos ½ (80º - 40º)

                               = 2 sin ½ (120º) cos ½ (40º)

                               = 2 sin 60º cos 20º

                               = 2 (½√3) cos 20º

                               = √3 cos 20º

Terbukti bahwa nilai dari sin 80º + sin 40º adalah √3 cos 20º.

Contoh soal 4.

Tanpa menggunakan tabel dan kalkulator buktikan bahwa:

a. sin A + cos A = √2 cos (A - 45º)

b. tan 75º - tan 15º = 2√3

Jawab

a. sin A + cos A = sin A + sin (90º - A)

                           = 2 sin ½ (A + (90º - A)) cos ½ (A - (90º - A))

                           = 2 sin ½ (90º) cos ½ (2A - 90º)

                           = 2 sin 45º cos A - 45º

                           = 2 (½√2) cos A - 45º

                           = √2 cos (A - 45º)

Terbukti bahwa nilai dari sin A + cos A adalah √2 cos (A - 45º).

b.

Terbukti bahwa nilai dari tan 75º - tan 15º adalah 2√3.

Contoh soal 5.

Tanpa menggunakan tabel dan kalkulator buktikan bahwa:

Jawab